设A,B是n阶方阵,证明:AB,BA有相同的特征值.

admin2016-09-19  39

问题 设A,B是n阶方阵,证明:AB,BA有相同的特征值.

选项

答案利用特征值的定义. 设AB有任一特征值λ,其对应的特征向量为ξ,则 ABξ=λξ. ① ①式两边左乘B,得 BABξ=BA(Bξ)=λ(Bξ). ② 若Bξ≠0,②式说明,BA也有特征值λ(其对应的特征向量为Bξ),若Bξ=0,由①式知,λξ=0,ξ≠0,得AB有特征值λ=0,从而|AB|=0,且|BA|=|B||A|=|A||B|=|AB|=0,从而BA也有λ=0的特征值. 故AB和BA有相同的特征值.

解析
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