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  3. 求解微分方程xy’sinylnx+(1一xcosy)cosy=0．

求解微分方程xy’sinylnx+(1一xcosy)cosy=0．

admin2019-05-14  25
问题 求解微分方程xy’sinylnx+(1一xcosy)cosy=0．
选项
答案设变量代换u=cosy，则原微分方程就化为[*]这是n=2时的伯努利方程． 令z=u－1，代入到上式中，得[*]这是线性微分方程． 利用分离变量的方法，得齐次线性微分方程的通解为[*]其中c为任意常数． 利用常数变易法，设非齐次线性微分方程的通解为[*]代入到线性微分方程中，得c(x)=x+c．于是，线性微分方程的通解为[*]其中c为任意常数． 最后，再将变量代换z=u－1代回到原微分方程中去，即得原微分方程的通解为[*]其中c为任意常数． 另外，当u=0时，[*](n取整数)也是原微分方程的解．
解析 本题主要考查伯努利方程的求解方法．
在求解微分方程的通解时，有时有的特解并不在其通解中．这时，就需要按原微分方程的结构来判定．
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