2. 考研
  3. 设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且z=满足等式． (1)验证fˊˊ(u)+=0； (2)若f(1)=0，fˊ(1)=1，求函数f(u)的表达式．

设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且z=满足等式． (1)验证fˊˊ(u)+=0； (2)若f(1)=0，fˊ(1)=1，求函数f(u)的表达式．

admin2016-09-13  60
问题 设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且z=满足等式．
(1)验证fˊˊ(u)+=0；
(2)若f(1)=0，fˊ(1)=1，求函数f(u)的表达式．
选项
答案(1)求二元复合函数z=f([*])的二阶偏导数[*]中必然包含fˊ(u)及fˊˊ(u)，将[*]的表达式代入等式[*]=0中，就能找出fˊ(u)与fˊˊ(u)的关系式． [*] (2)解可降阶的二阶线性微分方程的通解和特解． 在方程fˊˊ(u)+[*]=0中，令fˊ(u)=g(u)，则fˊˊ(u)=gˊ(u)，方程变为gˊ(u)+[*]=0，这是可分离变量微分方程，解得g(u)=[*]，即fˊ(u)=[*]，由初值条件ˊ(1)=1得C1=1，所以，f1(u)=[*]，两边积分得 f(u)=lnu+C2． 由初值条件f(1)=0得C2=0，所以f(u)=lnu．
解析
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考研数学三

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