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设f(x)在(0,+∞)上有定义,且f’(1)=a(≠0),又对任意x,y∈(0,+∞),有f(xy)=f(x)+f(y),则f(x)=___________。
设f(x)在(0,+∞)上有定义,且f’(1)=a(≠0),又对任意x,y∈(0,+∞),有f(xy)=f(x)+f(y),则f(x)=___________。
admin
2018-05-25
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问题
设f(x)在(0,+∞)上有定义,且f’(1)=a(≠0),又对任意x,y∈(0,+∞),有f(xy)=f(x)+f(y),则f(x)=___________。
选项
答案
alnx
解析
在等式f(xy)=f(x)+f(y)中,令y=1,得f(x)=f(x)+f(1),则f(1)=0,根据导数的定义,取xy为增量,则
因为f’(1)=a,所以f’(a)=
,故f(x)=alnx+C,其中C为任意常数。
令x=1,于是f(1)=aln1+C=0,得C=0,因此f(x)=alnx。
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/LJ2RFFFM
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考研数学一
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