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  3. 设α是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )

设α是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )

admin2021-01-25  45
问题 设α是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则(    )
选项 A、E一ααT不可逆。
B、E+ααT不可逆。
C、E+2ααT不可逆。
D、E一2ααT不可逆。
答案A
解析 由α是n维单位列向量可知
    (ααT)α=α(αTα)=α，且1≤r(ααT)≤r(α)=1，即1是矩阵ααT的特征值，且r(ααT)=1，所以ααT的特征值为0(n一1重)和1。
    矩阵E一ααT的特征值为1(n一1重)和0，则E一ααT不可逆。E+ααT的特征值为1(n一1重)和2，E+2ααT的特征值为1(n一1重)和3，E一2ααT的特征值为1(n一1重)和一1，三者的矩阵行列式均不为零，因此均可逆。不可逆的只有A选项。
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考研数学三

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