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设A为实对称矩阵,且A的特征值都大于零.证明:A为正定矩阵.
设A为实对称矩阵,且A的特征值都大于零.证明:A为正定矩阵.
admin
2015-07-10
32
问题
设A为实对称矩阵,且A的特征值都大于零.证明:A为正定矩阵.
选项
答案
A所对应的二次型为f=X
T
AX. 因为A是实对称矩阵,所以存在正交变换X=QY,使得 f=X
T
AX[*]λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
n
y
3
2
,其中λ
i
>0(i=1,2,…,n), 对任意的X≠0,因为X=QY,所以Y=Q
T
X≠0, 于是f=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
n
y
3
2
>0,即对任意的X≠0有X
T
AX>0,所以X
T
AX为正定二次型,故A为正定矩阵.
解析
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考研数学三
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