2. 考研
  3. 已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )。

已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )。

admin2015-11-16  20
问题 已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则下列向量组中线性无关的是(     )。
选项 A、α1＋α2，α2－α3，α3－α4，α4＋α1
B、α1＋α2，α1－2α3，α1＋α2－α3，5α2＋α3
C、α1＋α2＋α3，α1－α2＋α3，α1＋3α2＋9α3
D、α1＋α3，α2＋2α3＋α4，α1＋2α3＋α4，α2＋3α3＋2α4
答案D
解析 解  因为
    (α1＋α2)－(α2－α3)－(α3－α4)－(α4＋α1)＝0，
所以向量组(A)线性相关。
    若令
    β1＝α1＋α2，  β2＝α1－2α3，  β3＝α1＋α2－α3，  β4＝5α2＋α3。
则β1，β2，β3，β4可由α1，α2，α3线性表示，即多数向量可由少数向量线性表示。因此β1，β2，β3，β4线性相关，即向量组(B)线性相关。
    关于(C)，由α1，α2，α3，α4线性无关知，α1，α2，α3线性无关，若令
    β1＝α1＋α2＋α3， β2＝α1－α2＋α3，  β3＝α1＋3α2＋9α3，
则    [β1，β2，β3]＝[α1，α2，α3]。
因为是范德蒙行列式，不为0，所以
    r(β1，β2，β3)＝r(α1，α2，α3)＝3，
即向量组(C)线性无关，故仅(C)入选。因
    [α1＋α3，α2＋2α3＋α4，α1＋2α3＋α4，α2＋3α3＋2α4]
        ＝[α1，α2，α3，α4]
而右边行列式等于0，故(D)中向量组线性相关。
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