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设α1,α2,…,αn为n个n维线性无关的向量,A是n阶矩阵.证明:Aα1,Aα2,…,Aαn线性无关的充分必要条件是A可逆.
设α1,α2,…,αn为n个n维线性无关的向量,A是n阶矩阵.证明:Aα1,Aα2,…,Aαn线性无关的充分必要条件是A可逆.
admin
2015-07-22
25
问题
设α
1
,α
2
,…,α
n
为n个n维线性无关的向量,A是n阶矩阵.证明:Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
n
线性无关的充分必要条件是A可逆.
选项
答案
令B=(α
1
,α
2
,…,α
n
),因为α
1
,α
2
,…,α
n
为n个n维线性无关的向量,所以r(B)=n.(Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
n
)=AB,因为r(AB)=r(A),所以Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
n
线性无关的充分必要条件是r(A)=n,即A可逆.
解析
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考研数学一
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