2. 考研
  3. 设A是三阶矩阵，α1=[1，2，－2]T， α2=[2，1，－1]T， α3=[1，1，t]T是线性非齐次方程组AX=b的解向量，其中b=[1，3，一2]T，则( )．

设A是三阶矩阵，α1=[1，2，－2]T， α2=[2，1，－1]T， α3=[1，1，t]T是线性非齐次方程组AX=b的解向量，其中b=[1，3，一2]T，则( )．

admin2016-11-03  30
问题 设A是三阶矩阵，α1=[1，2，－2]T，  α2=[2，1，－1]T，  α3=[1，1，t]T是线性非齐次方程组AX=b的解向量，其中b=[1，3，一2]T，则(    )．
选项 A、t=－1，必有r(A)=1
B、t=－1，必有r(A)=2
C、t≠－1，必有r(A)=1
D、t≠－1，必有r(A)=2
答案C
解析 令B=[α1，α2，α3]，则
AB=[b，b，b]，  r(AB)=r([b，b，b])=1．
注意到t≠一1时，r(B)=3，从而r(AB)=r(A)=1，也可由方程组AX=b解的结构原理直接推出r(A)=1．    ‘
将已知关系式Aαi=b(i=1，2，3)合并成一个矩阵等式：
A[α1，α2，α3]=[Aα1，Aα2，Aα3]=[b，b，b]=
令    B=[α1，α2，α3]=
则    AB=[b，b，b]．
当t=－1时，因B中第2，3行成比例，故r(B)=2．这时由r(AB)=1只能得到r(A)≥r(AB)=1．(A)、(B)都不对，
当t≠一1时，因r(B)=3，故r(AB)=r(A)=1．仅(C)入选．
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