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设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内三阶可导,且f(1)=1,f(2)=6.证明:存在ξ∈(0,2),使得f"’(ξ)=9.
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内三阶可导,且f(1)=1,f(2)=6.证明:存在ξ∈(0,2),使得f"’(ξ)=9.
admin
2017-12-18
29
问题
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内三阶可导,且
f(1)=1,f(2)=6.证明:存在ξ∈(0,2),使得f"’(ξ)=9.
选项
答案
由[*]得f(0)=0,f’(0)=2. 作多项式P(x)=Ax
3
+Bx
2
+Cx+D,使得P(0)=0,P’(0)=2,P(1)=1,P(2)=6, [*] 令φ(x)=f(x)一[*],则φ(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,且φ(0)= φ(1)=φ(2)=0,因此φ(x)在[0,1]和[1,2]上都满足罗尔定理的条件,则存在ξ
1
∈(0,1),ξ
2
∈(1,2),使得φ’(ξ
1
)=φ’(ξ
2
)=0. 又φ’(0)=0,由罗尔定理,存在η
1
∈(0,ξ
1
),η
2
∈(ξ
1
,ξ
2
),使得φ"(η
1
)=φ"(η
2
)=0,再由罗尔定理,存在ξ∈(η
1
,η
2
)[*](0,2),使得φ"’(ξ)=0.而φ"’(x)=f"’(x)一9,所以f"’(ξ)=9.
解析
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考研数学一
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