已知函数f（x，y）具有二阶连续偏导数，且f（1，y）=0，f（x，1）=0，f（x，y）dxdy=a，其中D={（x，y|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xy fxy"（x，y）dxdy。

admin2017-12-29 30

问题已知函数f（x，y）具有二阶连续偏导数，且f（1，y）=0，f（x，1）=0，

f（x，y）dxdy=a，其中D={（x，y|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=

xy f_xy^"（x，y）dxdy。

选项

答案将二重积分[*]xyf_xy^"（x，y）dxdy转化为累次积分可得 [*]xyf_xy^"（x，y） dxdy=f₀¹dyf₀¹xyf_xy^"（x，y）dx。首先考虑∫₀¹xyf_xy^"（x，y）dx，注意这里把变量y看作常数，故有 ∫₀¹xyf_xy^"（x，y）dx= y∫₀¹xyf_y^’（x，y）=xyf_y^’（x，y）|₀¹一∫₀¹yf_y^’ （x，y）dx =yf_y^’ （1，y）—yf_y^’ （x，y）dx。由f（1，y）=f（x，1）=0易知，f_y^’（1，y）=f_x^’（x，1）=0。所以 ∫₀¹xyf_xy^"（x，y）dx= —∫₀¹yf_y^’（x，y）dx。因此 [*]xyf_xy^"（x，y）dxdy=∫₀¹dy∫₀¹xyf_xy^"（x，y）dx=一∫₀¹dyf_y^’（x，y）dx，对该积分交换积分次序可得，一∫₀¹dy∫₀¹yf_y^’（x，y）dx=一∫₀¹dx∫₀¹yf_y^’（x，y）dy 再考虑积分∫₀¹yf_y^’（x，y）dy，注意这里把变量x看作常数，故有 ∫₀¹yf_y^’（x，y）dy=∫₀¹ydf（x，y）= yf（x，y）|₀¹一∫₀¹f（x，y）dy = —∫₀¹f（x，y）dy，因此 [*]xyf_xy^"（x，y） dxdy=—∫₀¹dx∫₀¹yf_y^’（x，y）dy =∫₀¹dx∫₀¹f（x，y）dy=[*]f（x，y）dxdy=a。

解析

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考研数学三

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已知函数f（x，y）具有二阶连续偏导数，且f（1，y）=0，f（x，1）=0，f（x，y）dxdy=a，其中D={（x，y|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xy fxy"（x，y）dxdy。

考研数学三

微分方程的通解是________．

设a为常数，f(x)=aex一1一x一，则f(x)在区间(一∞，+∞)内()

若函数φ(x)及ψ(x)是n阶可微的，且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1．又x＞x0时，φ(n)(x)＞ψ(k)(x0)．试证：当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x)．

设f(x)在区间[-a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0．写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；

求不定积分

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求下列极限．

求函数f(x，y)=x2+2y2一x2y2在区域D={(x，y)|x2+y2≤4，y≥0}上的最大值与最小值．

求幂级数的收敛域与和函数，并求的和．

在区间(0，1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6／5”的概率为________．

Studiesrevealthatpeoplespenttwohoursdreamingeverynight,nomatterwhatthey______duringtheday.

维生素D缺乏性佝偻病激期血化验降低明显的是()

我国的三家政策性银行是()。

关于“激越状态”，下列说法中不正确的是（）。

关于洋流，下列说法错误的是（）

求u=x2+y2+z2在约束条件下的最小值和最大值．

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