求一个正交变换把二次曲面的方程3χ2＋5y2＋5z2＋4χy－4χz－10yz＝1化成标准方程．

admin2017-03-15 32

问题求一个正交变换把二次曲面的方程3χ²＋5y²＋5z²＋4χy－4χz－10yz＝1化成标准方程．

选项

答案记二次曲面为f＝1，则f为二次型，二次型的矩阵为 [*] 得A的特征值为λ₁＝2，λ₂＝11，λ₃＝0．当λ₁＝2时，解方程(A－2E)χ＝0，得特征向量[*]，单位化得p₁＝[*] 当λ₂＝11时，解方程(A－11E)χ＝0，得特征向量[*]，单位化得p₂＝[*] 当λ₃＝0时，解方程Aχ＝0，得特征向量[*]，单位化得p₃＝[*] 于是有正交矩阵P(p₁，p₂，p₃)，使P^-1AP＝[*]，从而有正交变换 [*] 使原二次方程变为标准方程2u²＋11v²＝1．

解析

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考研数学一

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[*]
设g(x)在点x=0连续，求f(x)＝g(x)•sin2x在点x＝0的导数．
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求微分方程y〞＋5yˊ＋6y＝2e－x的通解．
已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．求a,b的值及方稗组的通解．
已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．
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设直线L过A(1，0，0)，B(0，1，1)两点，将L绕z轴旋转一周得到曲面∑．∑与平面z=0，z=2所围成的立体为Ω．求Ω的形心坐标．
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