(1)设,抛物线y=x2一2过点(t,t2一2)的切线与x轴的交点为(g(t),0),求g(t). (2)定义数列{xn}如下:x0=2,xn+1=g(xn),n=0,1,2,… 证明: (上述求方程根的近似值的方法称为牛顿切线法)

admin2015-03-21  66

问题 (1)设,抛物线y=x2一2过点(t,t2一2)的切线与x轴的交点为(g(t),0),求g(t).
    (2)定义数列{xn}如下:x0=2,xn+1=g(xn),n=0,1,2,…
    证明:
    (上述求方程根的近似值的方法称为牛顿切线法)

选项

答案(1)解:由抛物线y=x2一2可知y’=(x2一2)’=2x.所以过点(t,t2一2)的切线斜率为k=y’|x=t=2t.所以切线方程为y一(t2一2)=2t(x一t),即y=2tx一t2一2,令y=0,则[*].所以[*],其中[*]。 (2)证明:①当n=0时,x1=g(x0)=[*]. 当n=1时,x2=g(x1)=[*]. …… 当n=k时,xk+1=g(xk)=[*]. 因此{xn}为正数数列. 当xn>0时,xn+1=g(xn)=[*]. 当等号成立时,[*],即[*],因为此处g(t)的定义域为[*],故上述等号不成立,因此[*]. ②因为[*],故{xn}为单调递减数列.因为函数g(x)=[*]在区间[*]上连续,在[*]内可导,所以由中值定理可知:在[*]内存在一点ξ,使得[*].即[*]. 综上所述,由①②可知[*].

解析
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