2. 考研
  3. 证明：若φ在[0，a]上连续，f二阶可导，且f”(x)≥0，则有 故∫0af(φ(t))dt≥f(∫0aφ(t)dt)．

证明：若φ在[0，a]上连续，f二阶可导，且f”(x)≥0，则有 故∫0af(φ(t))dt≥f(∫0aφ(t)dt)．

admin2022-11-23  16
问题 证明：若φ在[0，a]上连续，f二阶可导，且f”(x)≥0，则有
    故∫0af(φ(t))dt≥f(∫0aφ(t)dt)．
选项
答案设c=[*]∫0aφ(t)dt，由f”(x)≥0知f(x)为凸函数，因此对任意的x，有 f(x)≥f(c)+f’(c)(x-c)， 将x=φ(t)代入，得f(φ(t))≥f(c)+f’(c)[φ(t)-c]． 由于φ在[0，a]连续，f二阶可导，故f[φ(t)]在[a，a]上可积，从而 ∫0af(φ(t))dt≥af(c)+f’(c)∫0aφ(t)dt-f’(c)·ca=af(c)． 故[*]∫0af(φ(t))dt≥f([*]∫0aφ(t)dt)．
解析
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考研数学三

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