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设n阶矩阵A=(α1,α2,…,αn)的前n-1个列向量线性相关,后n-1个列向量线性无关,且α1+2α2+…+(n-1)αn-1=0,b=α1+α2+…+αn,证明:方程组Ax=b有无穷多个解;求方程组AX=b的通解.
设n阶矩阵A=(α1,α2,…,αn)的前n-1个列向量线性相关,后n-1个列向量线性无关,且α1+2α2+…+(n-1)αn-1=0,b=α1+α2+…+αn,证明:方程组Ax=b有无穷多个解;求方程组AX=b的通解.
admin
2022-11-07
35
问题
设n阶矩阵A=(α
1
,α
2
,…,α
n
)的前n-1个列向量线性相关,后n-1个列向量线性无关,且α
1
+2α
2
+…+(n-1)α
n-1
=0,b=α
1
+α
2
+…+α
n
,证明:方程组Ax=b有无穷多个解;求方程组AX=b的通解.
选项
答案
因为r(A)=n-1,又b=α
1
+α
2
+…+α
n
,所以r(A)=n-1,即r(A)=r(A)=n-1<n,所以方程组AX=b有无穷多个解.因为a
1
+2α
2
+…+(n-1)a
n-1
=0,所以a
1
+2α
2
+…+(n-1)a
n-1
+0a
n
=0,即齐次线性方程组AX=0有基础解系ξ=(1,2,…,n-1,0)
T
,又因为b=a
1
+α
2
+…+a
n
所以方程组AX=b有特解η=(1,1,…,1)
T
,故方程组AX=b的通解为kξ+η=k(1,2,…,n-1,0)
T
+(1,1,…,1)
T
(k为任意常数).
解析
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考研数学三
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