2. 考研
  3. 设平面上有界闭区域D由光滑曲线C围成，C取正向(如图10．18)． (I)P(x，y)，Q(x，y)在D有连续的一阶偏导数，证明格林公式的另一种形式： 其中n=(cosαt，cosβ)是C的单位外法向量． (Ⅱ)设u(x，y)，v(x，y)在D

设平面上有界闭区域D由光滑曲线C围成，C取正向(如图10．18)． (I)P(x，y)，Q(x，y)在D有连续的一阶偏导数，证明格林公式的另一种形式： 其中n=(cosαt，cosβ)是C的单位外法向量． (Ⅱ)设u(x，y)，v(x，y)在D

admin2018-11-22  27
问题 设平面上有界闭区域D由光滑曲线C围成，C取正向(如图10．18)．

(I)P(x，y)，Q(x，y)在D有连续的一阶偏导数，证明格林公式的另一种形式：

其中n=(cosαt，cosβ)是C的单位外法向量．
    (Ⅱ)设u(x，y)，v(x，y)在D有连续的二阶偏导数，求证：

(Ⅲ)设u(x，y)在D有连续的二阶偏导数且满足

求证：u(x，y)=0((x，y)∈D)．
选项
答案(I)将格林公式 [*] 中Q换成P，P换成一Q，得 [*] 由第一、二类曲线积分的关系得 ∫CPdy—Qdx=∫C[Pcos<τ，j>一Qcos<τ，i>]ds， 其中τ是C的单位切向量且沿C的方向．注意<τ，j>=， <τ，i>=π一． 于是 ∫CPdy—Qdx=∫C[Pcos|ds=∫C(Pcosα+Qcosβ)ds 因此证得结论． (Ⅱ)由方向导数计算公式得[*] 再由格林公式的另一种形式(即题(I)的结论)得 [*] 再移项即得证． (Ⅲ)因u(x，y)|C=0，要证u(x，y)≡0((x，y)∈D)，只需证[*]=0((x，y)∈D)．取v(x，y)=u(x，y)，得 [*]
解析
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考研数学一

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