设a＝(a1，a2，…an)T，a1≠0，A＝aaT， (1)证明λ＝0是A的n－1重特征值； (2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量．

admin2018-04-15 35

问题设a＝(a₁，a₂，…a_n)^T，a₁≠0，A＝aa^T，
(1)证明λ＝0是A的n－1重特征值；
(2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量．

选项

答案(1)A为对称阵，故A与对角阵∧＝diag(λ₁，λ₂，…，λ_n)相似，其中λ₁，λ₂，…，λ_n是A的全部特征值．因为A＝aa^T且a≠0，所以r(A)＝1，从而r(∧)＝1，于是∧只有一个非零对角元，因此λ＝0是A的n－1重特征值． (2)设λ₁＝a^Ta，λ₂＝…＝λ_n＝0．因为Aa＝aa^Ta＝(a^Ta)a＝λ₁a，所以p₁＝a是对应于λ₁＝a^Ta的特征向量．对于λ₂＝…＝λ_n＝0，解方程Aχ＝0，即aa^Tχ＝0．已知a≠0，因此a^Tχ＝0，即a₁χ₁＋a₂χ₂＋…＋a_nχ_n＝0，所以其余(n－1)个线性无关特征向 P₂＝(－a₂，a₁，0，…，0)^T， P₃＝(－a₃，0，a₁，…，0)^T， P_n＝(－a_n，0，0，…，a₁)^T．

解析

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考研数学一

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