设 (1)求y(0)，yˊ(0)，并证明：(1－x2)yˊˊ－xyˊ=4； (2)求的和函数及级数的值．

admin2016-09-13 61

问题设

(1)求y(0)，yˊ(0)，并证明：(1－x²)yˊˊ－xyˊ=4；
(2)求

的和函数及级数

的值．

选项

答案(1)由y(x)=[*](2x)²ⁿ，得y(0)=0；又yˊ(x)=[*]，于是yˊ(0)=0， yˊˊ(x)=[*] 以下证明微分方程成立： [*] (2)下面求解微分方程(1－x²)yˊˊ－xyˊ=4．首先，应该可以想到本题用“二阶可降阶”的方法，令yˊ=p，考生可以自练．但是本题更好的做法如下：微分方程两边同乘以[*](想想看这个[*]是怎么推导出来的)，则有 [*] 于是有 [*]=4arcsinx+C．根据yˊ(0)=0=>C=0，即[*]两边再积分，得 [*]=2arcsin²x+C，故y(x)=2arcsin²x+C． [*]

解析

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考研数学三

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