求平面P的方程,已知P与曲面z=x2+y2相切,并且经过直线L:

admin2016-04-14  47

问题 求平面P的方程,已知P与曲面z=x2+y2相切,并且经过直线L:

选项

答案经过直线[*]的平面束方程为 6y+z+1+λ(x一5y一z一3)=0, 即 λx+(6—5λ)y+(1一λ)z+l一3λ=0. 它与曲面z=x2+y2相切,设切点为M(x0,y0,z0).于是该曲面在点M处的法向量为n=(2x0, 2y0,一1).从而 [*] 此外,点M(x0,y0,z0)还应满足 z0=x02+y02,(**) 及 λx0+(6—5λ)y0+(1一λ)z0+1—3λ=0.(***) 将(*)、(**)、(***)联立,解得 λ=2,(x0,y0,z0)=(1,一2,5), 或[*],(x0,y0,z0)=(4,1,17). 于是得两个平面方程:2x一4y—z一5=0,8x+2y—z一17=0.

解析
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