2. 考研
  3. 已知3阶矩阵A满足｜A-E｜=｜A-2E｜=｜A+E｜=a，其中E为3阶单位矩阵。 (1)当a=0时，求行列式｜A+3E｜的值； (2)当a=2时，求行列式｜A+3E｜的值。

已知3阶矩阵A满足｜A-E｜=｜A-2E｜=｜A+E｜=a，其中E为3阶单位矩阵。 (1)当a=0时，求行列式｜A+3E｜的值； (2)当a=2时，求行列式｜A+3E｜的值。

admin2021-04-16  45
问题 已知3阶矩阵A满足｜A-E｜=｜A-2E｜=｜A+E｜=a，其中E为3阶单位矩阵。
    (1)当a=0时，求行列式｜A+3E｜的值；
    (2)当a=2时，求行列式｜A+3E｜的值。
选项
答案(1)当a=0时，易知A有3个互异的特征值1，2，-1，所以存在可逆矩阵P使P-1AP=[*]， 从而有P-1(A+3E)P=P-1AP+3E=[*]， 表明A+3E的特征值为4，5，2，因此｜A+3E｜=4×5×2=40。 (2)当a=2时，设f(λ)=｜λE-A｜是A的特征多项式，g(λ)=f(λ)+2，则 g(1)=f(1)+2=｜E-A｜+2=0，g(2)=f(2)+2=｜2E-A｜+2=0，g(-1)=f(-1)+2=｜-E-A｜+2=0，所以g(λ)=(λ-1)(λ-2)(λ+1)=λ3-2λ2-λ+2，由此得 f(λ)=g(λ)-2=λ(λ2-2λ-1)，令f(λ)=0，解得A的特征值为0，1+[*]，1-[*]，所以A+3E的特征值为3，4+[*]，4-[*]，故｜A+3E｜=3(4+[*])(4-[*])=42。
解析
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考研数学三

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