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设向量组α1=(a,2,10)T,α2=(-2,1,5)T,α3=(-1,1,4) )T,β=(1,b,c)T.试问:当a,b,c满足什么条件时 (1)β可由α1,α2,α3线性表出,且表示唯一? (2)β不能由α1,α2,α3线性表出? (3)β可由α1
设向量组α1=(a,2,10)T,α2=(-2,1,5)T,α3=(-1,1,4) )T,β=(1,b,c)T.试问:当a,b,c满足什么条件时 (1)β可由α1,α2,α3线性表出,且表示唯一? (2)β不能由α1,α2,α3线性表出? (3)β可由α1
admin
2018-07-26
52
问题
设向量组α
1
=(a,2,10)
T
,α
2
=(-2,1,5)
T
,α
3
=(-1,1,4) )
T
,β=(1,b,c)
T
.试问:当a,b,c满足什么条件时
(1)β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出,且表示唯一?
(2)β不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表出?
(3)β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出,但表示不唯一?并求出一般表达式.
选项
答案
1 设有一组数k
1
,k
2
,k
3
,使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=β 该方程组的系数行列式 [*] (1)当a≠-4时,|A|≠0,方程组有唯一解,β可由α
1
,α
2
,α
3
唯一地线性表出. (2)当a=-4时,对增广矩阵作行的初等变换,有 [*] 若3b-c≠1,则秩(A)≠秩([*]),方程组无解,β不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表出. (3)当a=-4,且3b-c=1时,秩(A)=秩([*])=2<3,方程组有无穷多解,β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出, 但表示不唯一.此时,解得 k
1
=t,k
2
=-2t-b-1,k
3
=2b+1(t为任意常数) 因此有 β=tα
1
-(2t+b+1)α
2
+(2b+1)α
3
2 设有一组数x
1
,x
2
,x
3
,使得 x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β 对该方程组的增广矩阵作初等行变换,有 [*] (1)当-2-[*]≠0,即a≠-4时,秩(A):秩([*])=3,方程组有唯一解,β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出,且表示唯一. (2)当-2-[*]=0,即a=-4时,对[*]作初等行变换,有 [*] 当3b-c≠1时,秩(A)≠秩([*]),方程组无解,β不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表出. (3)同解1.
解析
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考研数学三
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