2. 公务员
  3. 如图，已知曲线C1：－y2=1，曲线C2：｜y｜=｜x｜+1，P是平面上一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1一C2型点”． 求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1一C2型点”．

如图，已知曲线C1：－y2=1，曲线C2：｜y｜=｜x｜+1，P是平面上一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1一C2型点”． 求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1一C2型点”．

admin2019-08-05  15
问题 如图，已知曲线C1：－y2=1，曲线C2：｜y｜=｜x｜+1，P是平面上一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1一C2型点”．

求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1一C2型点”．
选项
答案显然过圆x2+y2=[*]内一点的直线l若与曲线C1有交点，则斜率必存在；根据对称性，不妨设直线l斜率存在且与曲线C2交于点(t，t+1)(t≥0)，则l：y=(t+1)=k(x一t)[*]kx—y+(1+t－kt)=0，直线l与圆x2+y2=[*]内部有交点，故[*]，化简得：(1+t一tk)2＜[*](k2+1)① 若直线l与曲线C1有交点， 则[*]x2+2k(1+t一kt)x+(1+t一kt)2+1=0， △=4k2(1+t一kt)2一4(k2一[*])[(1+t一kt)2+1]≥0[*](1+t一kt)2≥2(k2一1)， 化简得：(1+t一kt)2≥2(k2一1)② 由①②得：2(k2一1)≤(1+t一tk)2＜[*]k2＜1， 但此时，因为t≥0，[1+t(1一k)]2≥1，[*](k2+1)＜1，即①式不成立； 当k2=[*]时，①式也不成立，综上，直线l若与圆x2+y2=[*]内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，即圆x2+y2=[*]内的点都不是“C1一C2型点”．
解析
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