给定两正数a1与b1(a1>b1),作出其等差中项a2=与等比中项b2=一般地令 an+1=,bn+1=(n=1,2,…). 证明:an与bn皆存在且相等.

admin2022-10-31  29

问题 给定两正数a1与b1(a1>b1),作出其等差中项a2=与等比中项b2=一般地令
    an+1=,bn+1=(n=1,2,…).
    证明:anbn皆存在且相等.

选项

答案由a1>0,b1>0可知an>0,bn>0(n=1,2,…),因而 an+1=[*]=bn+1,n=1,2.… 又因为a1>b1,所以an>bn(n=1,2,…), bn+1=[*]=bn,an+1=[*]=an,因此,{an}单调递减,{bn}单调递增,并且0<b1≤bn≤an≤a1,即{an},{bn}都是有界的.由单调有界定理知{an},{bn}的极限都存在.设[*]an=a,[*]bn=b,对an+1=[*]两边取极限。得a=[*],于是a=b,即[*]an与[*]bn皆存在且相等.

解析
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