设fn(x)=1－(1－cosx)n，求证： (1)对于任意正整数n，fn(x)=中仅有一根； (2)设有xn∈

admin2016-09-13 45

问题设f_n(x)=1－(1－cosx)ⁿ，求证：
(1)对于任意正整数n，f_n(x)=

中仅有一根；
(2)设有x_n∈

选项

答案(1)因为f_n(x)连续，又有f_n(0)=1，f_n([*])=0，所以由介值定理知[*]，使得f_n(ξ)=[*]．又因为fˊ_n(x)=－n(1－cosx)^n－1sinx＜0，x∈(0，[*])，所以f_n(x)在(0，[*])内严格单调减少．因此，满足方程f_n(x)=[*]的根是唯一的，即f_n(x)=[*]中仅有一根． (2)因为[*] 由保号性知，[*]N＞0，当n＞N时，有[*] 由f_n(x)的单调减少性质知[*]

解析

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考研数学三

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