设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTB=0,记n阶矩阵A=αβT,求: (I)A2; (II)矩阵A的特征值和特征向量.

admin2012-05-15  64

问题 设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTB=0,记n阶矩阵A=αβT,求:
(I)A2
(II)矩阵A的特征值和特征向量.

选项

答案(I)由题设,α,β都是非零向量,且αTβ=0,则βTα=0,则A2=(αβT)(αβT)=(βTα)αβT=0,即A2为零矩阵. (Ⅱ)由特征值与特征向量的定义,设λ为A的特征值,x为其相应的特征向量,则Ax=λx,x≠0,由前述知A2=0,从而0=AAx=λAx=λ2x,即λ=0,所以A的所有特征值都为0. [*]

解析
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