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  3. 设f(x)在[0,1]上连续且递减，证明：当0＜λ＜1时，∫0λf(x)dx≥λ∫01f(x)dx.

设f(x)在[0,1]上连续且递减，证明：当0＜λ＜1时，∫0λf(x)dx≥λ∫01f(x)dx.

admin2022-10-08  36
问题 设f(x)在[0,1]上连续且递减，证明：当0＜λ＜1时，∫0λf(x)dx≥λ∫01f(x)dx.
选项
答案∫0λf(x)dx－λ∫01f(x)dx =∫0λf(x)dx－λ∫0λf(x)dx－λ∫λ1f(x)dx=(1－λ)∫0λf(x)dx－λ∫λ1f(x)dx =(1－λ)λf(ξ1)－λ(1－λ)f(ξ2)=λ(1－λ)[f(ξ1)－f(ξ2)] 其中0≤ξ1≤λ≤ξ2≤1，因f(x)递减，则有f(ξ1)≥f(ξ2),又λ＞0.1，λ＞0 因此λ(1－λ)[f(ξ1)－f(ξ2)]≥0,即原不等式成立。
解析
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考研数学三

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