对于任意两个事件A1,A2,考虑随机变量 试证:随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立.

admin2018-09-25  32

问题 对于任意两个事件A1,A2,考虑随机变量

试证:随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立.

选项

答案易见,随机变量X1和X2都服从0-1分布,且P{Xi=1}=P(Ai),P{Xi=0}=[*]P{X0=1,X2=1}=P(A0A2). 必要性.设随机变量X1和X2独立,则P(A1A2)=P{X1=1,X2=1}=P{X1=1}P{X2=1}=P(A1)P(A2),从而事件A1和A1相互独立. 充分性.设事件A1和A1相互独立,则[*]也都独立,故 P{X1=0,X2=0}= [*] =P{X1=0}P{X2=0}, P{X1=0,X2=1}= [*] =P{X1=0}P{X2=1}, P{X1=1,X2=0}= [*] =P{X1=1}P{X2=0}, P{X1=1,X2=1}=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=P{X1=1}P{X2=1}, 从而随机变量X1和X2相互独立.

解析
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