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  3. 设随机变量X～N(0，1)，求Y＝e3X＋1的概率密度．

设随机变量X～N(0，1)，求Y＝e3X＋1的概率密度．

admin2016-01-25  26
问题 设随机变量X～N(0，1)，求Y＝e3X＋1的概率密度．
选项
答案因X～N(0，1)，故X的概率密度为 φ(x)＝[*]e－x2／2，一∞＜x＜＋∞． 因Y＝e3X＋1，故y＝e3x＋1为单调增加函数．而 [*] 故y的概率密度函数为 [*]
解析 若X的概率密度为fX(x)，随机变量Y＝φ(X)的概率密度fY(y)的求法如下．
(1)若φ′(x)＞0即y＝φ(x)为单调增加函数，则
    fY(y)＝fX[φ－1(y)][φ－1(y)]′，
其中x＝φ－1(y)是y＝φ(x)的反函数．
(2)若φ′(x)＜0即y＝φ(x)为单调减少函数，则
   fY(y)＝－fX[φ－1(y)][φ－1(y)]′，
其中x＝φ－1(y)为y＝φ(x)的反函数．
上述两种情况可合并为
fY(y)＝fX[φ－1(y)][φ－1(y)]′｜．
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考研数学三

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