2. 考研
  3. 已知A是三阶矩阵，αi（i=1，2，3）是三维非零列向量，令a=α1+α2+α3。若Aαi=iαi（i=1，2，3），证明：α，Aα，A2α线性无关。

已知A是三阶矩阵，αi（i=1，2，3）是三维非零列向量，令a=α1+α2+α3。若Aαi=iαi（i=1，2，3），证明：α，Aα，A2α线性无关。

admin2017-01-21  39
问题 已知A是三阶矩阵，αi（i=1，2，3）是三维非零列向量，令a=α1+α2+α3。若Aαi=iαi（i=1，2，3），证明：α，Aα，A2α线性无关。
选项
答案由Aαi=iαi（i=1，2，3），且αi（i=1，2，3）非零可知，α1，α2，α3是矩阵A的属于不同特征值的特征向量，故α1，α2，α3线性无关。又 Aα=α1+2α2+3α3，A2α=α1+4α2+9α3， 所以 （α，Aα，A2α）=（α1，α2，α3）[*]=（α1，α2，α3）P，而矩阵P是范德蒙德行列式，故|P|=2≠0，所以α，Aα，A2α线性无关。
解析
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考研数学三

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