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设f(x)是连续函数. (1)求初值问题的解,其中a>0; (2)若|f(x)|≤k,证明:当x≥0时,有|y(x)|≤k/a(eax-1).
设f(x)是连续函数. (1)求初值问题的解,其中a>0; (2)若|f(x)|≤k,证明:当x≥0时,有|y(x)|≤k/a(eax-1).
admin
2022-08-19
35
问题
设f(x)是连续函数.
(1)求初值问题
的解,其中a>0;
(2)若|f(x)|≤k,证明:当x≥0时,有|y(x)|≤k/a(e
ax
-1).
选项
答案
(1) y′+ay=f(x)的通解为y=[∫
0
x
f(t)e
at
dt+C]e
-ax
, 由y(0)=0得C=0,所以y=e
-ax
∫
0
x
f(t)e
at
dt. (2)当x≥0时,|y|=e
-ax
|∫
0
x
f(t)e
at
dt|≤e
-ax
∫
0
x
|f(t)|e
at
dt≤ke
-ax
∫
0
x
e
at
dt =(k/a)e
-ax
(e
ax
-1)≤k/a(e
ax
-1).
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/7zfRFFFM
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考研数学三
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