设A是m阶正定矩阵,B是m×n实矩阵,证明:BTAB正定r(B)=n.

admin2020-03-10  67

问题 设A是m阶正定矩阵,B是m×n实矩阵,证明:BTAB正定r(B)=n.

选项

答案“[*]”BTAB是n阶正定矩阵,则r(BTAB)=n,从而r(B)=n. “[*]”显然BTAB是实矩阵,并且(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB,因此,BTAB是实对称矩阵.因为r(B)=n,所以齐次线性方程组BX=0只有零解,即若X是n维非零实列向量,则BX≠0.再由A的正定性,得到XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)>0.由定义知,BTAB正定.

解析
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