设f(x)=试将f(x)展开成x的幂级数.

admin2017-10-23  43

问题 设f(x)=试将f(x)展开成x的幂级数.

选项

答案[*] 由于上式右端的级数在点x=±1处收敛,因此上面等式在|x|≤1上成立.于是当0<|x|≤1时 [*] 由于f(x)在点x=0处连续,且根据幂级数的和函数在收敛区间内处处连续可得上式在点x=0处也成立,因此f(x)的幂级数展开式为 f(x)=1+[*],x∈[—1,1].

解析 先由arctanx的麦克劳林展开式求出0<|x|≤1时f(x)的幂级数展开式,再由幂级数的和函数在收敛区间内的连续性及f(x)在点x=0处的连续性求得f(x)在|x|≤1上的展开式.
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