设f(x)，g(x)在区间[－a，a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)＋f(－x)＝A(A为常数)。证明：∫－aaf(x)g(x)dx＝A∫0ag(x)dx

admin2014-04-17 33

问题设f(x)，g(x)在区间[－a，a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)＋f(－x)＝A(A为常数)。
证明：∫_－a^af(x)g(x)dx＝A∫₀^ag(x)dx

选项

答案证明：(1)∫_－a^af(x)g(x)dx＝∫_－a⁰f(x)g(x)dx＋∫₀^af(x)g(x)dx，令u＝－x，∫_－a⁰f(x)g(x)dx＝－∫_a⁰f(－u)g(－u)du＝∫₀^af(－x)g(x)dx，所以∫_－a^af(x)g(x)dx＝∫₀^af(－x)g(x)dx＋∫₀^af(x)g(x)dx＝∫₀^a[f(－x)＋f(x)]g(x)dx＝A∫₀^ag(x)dx

解析

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