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已知△ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.在该三角形内求一点P,使该点到△ABC三边的距离的乘积为最大.并求出乘积最大时的这三个距离及此乘积的最大值.
已知△ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.在该三角形内求一点P,使该点到△ABC三边的距离的乘积为最大.并求出乘积最大时的这三个距离及此乘积的最大值.
admin
2018-07-26
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问题
已知△ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.在该三角形内求一点P,使该点到△ABC三边的距离的乘积为最大.并求出乘积最大时的这三个距离及此乘积的最大值.
选项
答案
设点P到a,b,c三边的距离分别为x,y,z.于是[*]=S,即 ax+by+cz-2S=0. 令F(x,y,z,λ)=xyz+λ(ax+by+cz一2S),由拉格朗日乘数法,令 [*] 解得[*] 当点P在三角形的边上时,xyz=0.而点P在三角形内部时,xyz>0.所以当点P在三角形内部时,乘积xyz有最大值.所以当 (x,y,z)=[*] 时,xyz最大,最大值为[*]
解析
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考研数学一
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