设A是m×n矩阵,Aχ=0是非齐次线性方程组Aχ=b所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( )

admin2019-02-18  21

问题 设A是m×n矩阵,Aχ=0是非齐次线性方程组Aχ=b所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是(    )

选项 A、若Aχ=0仅有零解,则Aχ=b有唯一解.
B、若Aχ=0有非零解,则Aχ=b有无穷多个解.
C、若Aχ=b有无穷多个解,则Aχ=0仅有零解.
D、若Aχ=b有无穷多个解,则Aχ=0有非零解.

答案D

解析 因为不论齐次线性方程组Aχ=0的解的情况如何,即r(A)=n或r(A)<n,以此均不能推得
    r(A)=r(Ab),
    所以选项A、B均不正确.
    而由Aχ=b有无穷多个解可知,r(A)=r(Ab)<n.
    根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知,此时Aχ=0必有非零解.所以应选D.
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