奇函数f(x)(x∈R)满足f(一3)=0，且在区间[0，2]与[2，+∞)上分别是递减和递增，则不等式(1-x2)f(x)＞0的解集( )。

admin2015-11-18 29

问题奇函数f(x)(x∈R)满足f(一3)=0，且在区间[0，2]与[2，+∞)上分别是递减和递增，则不等式(1-x²)f(x)＞0的解集( )。

选项 A、(一∞，一3)∪(1，4)
B、(一∞，一3)∪(一1，0)∪(1，+∞)
C、(一∞，一3)∪(一1，1)∪(3，+∞)
D、(一∞，一3)∪(一1，0)∪(1，3)

答案D

解析函数f(x)是奇函数，故f(0)=0，又f(一3)=0，则f(3)=0，且函数图象关于原点对称，在区间[0，2]与[2，+∞)上分别是递减和递增，故函数图象在(一∞，一2)递增，在(一2，0)递减。图象如下：

因此(1-x²)f(x)＞0时有两种情况：
①x²＜1，且f(x)＞0
所以

解得：x∈(一1，0)
②x²＞1，且f(x)＜0
所以

解得：x∈(一∞，一3)∪(1，3)
综上：不等式(1-x²)f(x)＞0的解集为x∈(一∞，一3)∪(一1，0)∪(1，3)。

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