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设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f′(0)=f(1)=f′(1)=0. 证明:方程f″(x)-f(x)=0在(0,1)内有根.
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f′(0)=f(1)=f′(1)=0. 证明:方程f″(x)-f(x)=0在(0,1)内有根.
admin
2019-09-27
17
问题
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f′(0)=f(1)=f′(1)=0.
证明:方程f″(x)-f(x)=0在(0,1)内有根.
选项
答案
令φ(x)=e
-x
[f(x)+f′(x)]. 因为φ(0)=φ(1)=0,所以由罗尔定理,存在c∈(0,1)使得φ′(c)=0, 而φ′(x)=e
-x
[f″(x)-f(x)]且e
-x
≠0,所以方程f″(c)-f(c)=0在(0,1)内有根.
解析
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考研数学一
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