2. 自考
  3. 在Q(x，y，z)=λ(x2+y2+z2)+2xy+2xz一2yz中，问： (1)λ取什么值时，Q为正定的? (2)λ取什么值时，Q为负定的? (3)当λ=2和λ=—1时，Q为什么类型?

在Q(x，y，z)=λ(x2+y2+z2)+2xy+2xz一2yz中，问： (1)λ取什么值时，Q为正定的? (2)λ取什么值时，Q为负定的? (3)当λ=2和λ=—1时，Q为什么类型?

admin2017-08-16  35
问题 在Q(x，y，z)=λ(x2+y2+z2)+2xy+2xz一2yz中，问：
  (1)λ取什么值时，Q为正定的?
  (2)λ取什么值时，Q为负定的?
  (3)当λ=2和λ=—1时，Q为什么类型?
选项
答案(1)用Q正定→它的矩阵的各阶顺序主子式皆为正数． 因 [*] 故D1=λ，D2=λ2一1，D3=(λ一2)(λ+1)2 所以要Q正定．必须λ＞0，λ2＞1，λ＞2，故λ＞2为答案． (2)Q负定→D1＜0，D2＞0，D3＜0，即 λ＜0，λ2＞1，λ＜2→λ＜一1 所以λ＜一1时，Q负定． (3)当λ=2时，A的所有主子式均为正数或0，所以Q是半正定的(因a11=a22=a33=2＞0，detA=0，二阶主子式有3个值均为3)．或用配方法Q=2[x+[*](y—z)2， 所以Q半正定． 当λ=一1时，Q=一(x—y—z)2，故Q半负定．
解析
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