设矩阵A=有三个线性无关的特征向量，则a和b应满足的条件为( )．

admin2019-07-12 33

问题设矩阵A=

有三个线性无关的特征向量，则a和b应满足的条件为( )．

选项 A、a=b=1
B、a—b=一1
C、a一b≠0
D、a+b=0

答案D

解析 A的特征方程为 |λE一A|=

=(λ一1)²(λ+1)=0，
解之得到A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=一1．由于对应于不同特征值的特征向量线性无关，所以当A有三个线性无关的特征向量时，对应于特征值λ₁=λ₁=1应有两个线性无关的特征向量，从而矩阵1．E—A的秩必为1．由
(1．E—A)=

知，只有a+b=0时，r(1．E—A)=1．此时A有三个线性无关的特征向量．故选D．

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