设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2一2x1x3+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32． (Ⅰ)求常数a，b； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当｜X｜=1时，求二次型

admin2017-02-28 67

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₂²+x₃²一2x₁x₂一2x₁x₃+2ax₂x₃(a＜0)通过正交变换化为标准形2y₁²+2y₂²+by₃²．
(Ⅰ)求常数a，b；
(Ⅱ)求正交变换矩阵；
(Ⅲ)当｜X｜=1时，求二次型的最大值．

选项

答案(Ⅰ)令A=[*]，则f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX．因为二次型经过正交变换化为2y₁²+2y₂²+by₃²，所以矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=2，λ₃=b．由 [*] (Ⅲ)因为Q为正交矩阵．所以｜X｜=1时，｜Y｜=1，当｜Y｜=1时，二次型的最大值为2．

解析

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考研数学一

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