(88年)设函数y=f(x)满足微分方程y"一3y’+2y=2ex，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2一x+1在该点的切线重合，求函数y=y(x)．

admin2017-04-20 37

问题 (88年)设函数y=f(x)满足微分方程y"一3y’+2y=2e^x，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x²一x+1在该点的切线重合，求函数y=y(x)．

选项

答案本题所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为 λ²一3λ+2=(λ一1)(λ一2)=0 其根为 λ₁=1，λ₂=2 则齐次通解为 [*] 由于λ=1为特征方程的单根，则非齐次方程特解可设为 y*=Axe^x 代入原方程得 A=一2 则原方程通解为 y=C₁e^x+C₂e^2x一2xe^x 由原题设曲线y

解析

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考研数学一

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由结论可知，若令φ(x)＝xf(x)，则φˊ(x)＝f(x)＋xfˊ(x)．因此，只需证明φ(x)在[0，1]内某一区间上满足罗尔定理的条件．令φ(x)＝xf(x)，由积分中值定理可知，存在η∈(0，1／2)使[*]
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