设向量组α1,α2,α3,线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,向量β2不能由α1,α2,α3线性表示,则必有( )

admin2019-01-14  24

问题 设向量组α1,α2,α3,线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,向量β2不能由α1,α2,α3线性表示,则必有(    )

选项 A、α1,α2,β1线性无关.
B、α1,α2,β2线性无关.
C、α2,α3,β1,β2线性相关.
D、α1,α2,α3,β1+β2线性相关.

答案B

解析 由于α1,α2,α3线性无关,β2不能由α1,α2,α3线性表示知,α1,α2,α3,β2线性无关,从而部分组α1,α2,β2线性无关,故B为正确答案.下面证明其他选项的不正确性.
    取α1=(1,0,0,0)T,α2=(0,1,0,0)T,α3=(0,0,1,0)T,β2=(0,0,0,1)T,β1=α1知选项A与C错误.
    对于选项D,由于α1,α2,α3线性无关,若α1,α2,α3,β1+β2线性相关,则β1+β2可由α1,α2,α3线性表示,而β1可由α1,α2,α3线性表示,从而β2可由α1,α2,α3线性表示,与假设矛盾,从而D错误.
    所以应选B.
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