2. 考研
  3. 设y1=6，y2=6+x，y=6+x+ex都是微分方程(x2-x)y’’-(x2-2)y’+(2x-2)y=ex的解．则该微分方程的通解为_________．

设y1=6，y2=6+x，y=6+x+ex都是微分方程(x2-x)y’’-(x2-2)y’+(2x-2)y=ex的解．则该微分方程的通解为_________．

admin2019-05-14  20
问题 设y1=6，y2=6+x，y=6+x+ex都是微分方程(x2-x)y’’-(x2-2)y’+(2x-2)y=ex的解．则该微分方程的通解为_________．
选项
答案y=C1ex+C2x+6
解析 本题主要考查二阶线性(变系数)齐次与非齐次微分方程解的性质与结构．
    因为y1=6，y2=6+x，y4=6+x+ex都是二阶线性非齐次微分方程的解，所以y2-y1=x，y3-y2=ex就是其所对应的二阶线性齐次微分方程的解．
因为≠常数，所以x与ex线性无关，从而
    Y=C1ex+C2x
是二阶线性齐次微分方程的通解．又因为y1=6是二阶线性非齐次微分方程的一个特解，故所求通解为
    y=C1ex+C2x+6．
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考研数学一

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