2. 专升本
  3. 设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)=-1，f(0)=1，证明：f(x)=ex或f(x)=e-x。

设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)=-1，f(0)=1，证明：f(x)=ex或f(x)=e-x。

admin2015-07-15  33
问题 设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)=-1，f(0)=1，证明：f(x)=ex或f(x)=e-x。
选项
答案证：(1)∵F(x)·G(x)=-1， ∴F’(x)G(x)+F(x)G’(x)=0 [*] →F2(x)=f2(x)。 (2)讨论，(i)若F(x)=f(x)，即 f(x)=f’(x)，[*] lnf(x)=x+C1，f(x)=Cex 由f(0)=1，得C=1 故有f(x)=ex (ii)若F(x)=-f(x)，即f(x)=-f’(x) →lnf(x)=-x+C2，f(x)=Ce-x 由f(0)=1，得C=1。 故有f(x)=e-x证毕。
解析
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