2. 考研
  3. 设α1 ，α2 ，α3 ，α4为四维列向量组，且α1 ，α2 ，α3线性无关，α4=α1+α2+2α3．已知方程组[α1一α2 ，α2+α3 ，一α1+α2+α3]X=α4有无穷多解． (1)求a的值； (2)用基础解系表示该方程组的通解．

设α1 ，α2 ，α3 ，α4为四维列向量组，且α1 ，α2 ，α3线性无关，α4=α1+α2+2α3．已知方程组[α1一α2 ，α2+α3 ，一α1+α2+α3]X=α4有无穷多解． (1)求a的值； (2)用基础解系表示该方程组的通解．

admin2020-05-16  52
问题 设α1 ，α2 ，α3 ，α4为四维列向量组，且α1 ，α2 ，α3线性无关，α4=α1+α2+2α3．已知方程组[α1一α2 ，α2+α3 ，一α1+α2+α3]X=α4有无穷多解．
(1)求a的值；
(2)用基础解系表示该方程组的通解．
选项
答案为求参数a的值，在线性代数中常先找出含此参数的等于0的行列式，然后解之。所给方程组由于有无穷多解，则 r(A)=r(α1一α2 ，α2+α3 ，一α1+aα2+α3)＜3． 由 [α1一α2 ，α2+α3 ，一α1+aα2+α3]=[α1 ，α2 ，α3] [*] 知，必有[*] 从而可求出a，为求其基础解系，需将原方程组恒等变形去掉满秩矩阵，得其同解方程组而求之． 由题设，得矩阵 [α1一α2 ，α2+α3 ，一α1+aα2+α3]=[α1 ，α2 ，α3] [*] 的秩小于3，又α1 ，α2 ，α3线性无关，故矩阵[*]不可逆，由 [*]=2一a=0，得a=2． 方程组[α1一α2 ，α2+α3 ，一α1一2α2+α3]X=α4化为 [α1 ，α2 ，α3][*] X=[α1 ，α2 ，α3][*] 因为α1 ，α2 ，α3线性无关，所以原方程组与方程组[*]同解． 下面求方程组[*]的通解，为此先求出其导出组的基础解系及原方程组的二特解．将增广矩阵[*]用初等行变换化为系数矩阵含最高阶单位矩阵的矩阵： [*] 用基础解系、特解的简便求法得到其基础解系只含一个解向量α=[1，一1，1]T ，特解为η=[1，2，0]T ，故所求的通解为 kα+η=k[1，一1，1]T+[1，2，0]T ，k为任意常数．
解析
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考研数学三

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