设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。 (Ⅰ)证明B可逆; (Ⅱ)求AB-1。

admin2017-03-15  19

问题 设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。
(Ⅰ)证明B可逆;
(Ⅱ)求AB-1

选项

答案(Ⅰ)设E(i,j)是由n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后得到的初等矩阵,则有B=E(i,j)A,因此有 |B|=|E(i,j)||A|=-|A|≠0, 所以矩阵B可逆。 (Ⅱ)AB-1=A[E(i,j)A]-1=AA-1E-1(i,j)=E-1(i,j)=E(i,j)。

解析
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