已知n维向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αs和向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βt的秩都等于r，那么下述命题不正确的是( )

admin2019-05-15 36

问题已知n维向量组(Ⅰ)：α₁，α₂，…，α_s和向量组(Ⅱ)：β₁，β₂，…，β_t的秩都等于r，那么下述命题不正确的是( )

选项 A、若s=t，则向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．
B、若向量组(Ⅰ)是向量组(Ⅱ)的部分组，则向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价．
C、若向量组(Ⅰ)能由向量组(Ⅱ)线性表示，则向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价．
D、若R(α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t)=r，则向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价．

答案A

解析选项A，令向量组(Ⅰ)：α₁=(1，0，0，0)^T，α₂=(0，1，0，0)^T；向量组(Ⅱ)：β₁=(0，0，1，0)^T，β₂=(0，0，0，1)^T满足秩相等、向量个数相等，但两者不能相互线性表示，故向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价，所以(A)不对，故选择A．
在选项B中，由于向量组(Ⅰ)是向量组(Ⅱ)的部分组，所以向量组(Ⅰ)的极大线性无关组也是向量组(Ⅱ)的r个线性无关的向量，必是向量组(Ⅱ)的极大线性无关组，所以向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)的极大线性无关组等价，必有向量组(I)与向量组(Ⅱ)等价，所以选项(B)正确．
在选项C中，向量组(Ⅰ)能由向量组(Ⅱ)线性表示，所以向量组(Ⅰ)的极大线性无关组必能由向量组(Ⅱ)的极大线性无关组线性表示，且向量组(Ⅱ)的极大线性无关组也是向量组α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t的极大线性无关组，即R(α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t)=r，所以向量组(Ⅰ)的极大线性无关组也是向量组α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t的极大线性无关组，向量组(Ⅱ)的极大线性无关组必能由向量组(Ⅰ)的极大线性无关组线性表示，即向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)的极大线性无关组等价，必有向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价，所以选项C正确．
在选项D中，R(α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t)=r，所以向量组(Ⅰ)的极大线性无关组与向量组(Ⅱ)的极大线性无关组都是向量组α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t的极大线性无关组，所以它们可相互线性表示，即向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价，所以选项D正确．

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