设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，求L的方程．

admin2018-11-21 35

问题设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度

，求L的方程．

选项

答案设L的方程为y=y(x)，过点M(x，y(x))的切线与y轴的交点为A(0，y(x)一xy’(x))，又｜[*]｜²=x²+[y(x)一(y(x)一xy’(x))]²=x²+x²y’²，｜[*]｜²=(y²—xy’)²，按题意得 x²+x²y’²=(y一xy’)²，即 2xyy’一y²=一x²．又初始条件 [*]．这是伯努利方程(也是齐次方程)2yy’一[*]y²=一x．对z=y²而言这是一阶线性方程，两边乘积分因子μ=[*]，得 [*]y²=一x+C．y²=一x²+Cx．由初始条件[*]，得C=3．因此L的方程为y²+x²=3x． [*]

解析

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考研数学一

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