2. 考研
  3. 设A为3阶实对称阵，且满足条件A3＋2A2＝0，已知A的秩R(A)＝2，(1)求A的全部特征值；(2)当k为何值时，矩阵A＋kE为正定矩阵?其中E为3阶单位矩阵．

设A为3阶实对称阵，且满足条件A3＋2A2＝0，已知A的秩R(A)＝2，(1)求A的全部特征值；(2)当k为何值时，矩阵A＋kE为正定矩阵?其中E为3阶单位矩阵．

admin2020-06-05  13
问题 设A为3阶实对称阵，且满足条件A3＋2A2＝0，已知A的秩R(A)＝2，(1)求A的全部特征值；(2)当k为何值时，矩阵A＋kE为正定矩阵?其中E为3阶单位矩阵．
选项
答案(1)设λ是A的一个特征值，对应的特征向量为α，则 Aα＝λα(α≠0)，A2α＝λ2α，A3α＝λ3α 于是 (A3＋2A2)α＝(λ3＋λ2)α 由已知条件A3＋2A2＝0，得(λ3＋2λ2)α＝0．又由于α≠0，故有λ3＋2λ2＝0，得λ＝﹣2或λ＝0，故A的特征值只可能是﹣2和0． 因为A是对称阵，故A必相似于某对角阵[*]．又因为R(A)＝2，从而(A－0E)x＝0的基础解系中只含一个向量，λ＝0只能是A的单特征值，于是A的特征值为λ1＝λ2＝﹣2，λ3＝0． (2)因A是对称阵，所以对任意的k，A＋kE也是对称阵，并且由矩阵A的特征值为λ1＝λ2＝﹣2，λ3＝0知A＋kE的特征值为﹣2＋k，﹣2＋k，k，于是当k﹥2时，A＋kE的特征值全为正数，也就是k﹥2，A＋kE为正定矩阵．
解析
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考研数学一

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