2. 考研
  3. 设有向量组A：，问α，β为何值时： (1)向量b不能由向量组A线性表示． (2)向量b能由向量组A线性表示，且表示式唯一． (3)向量b能由向量组A线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式．

设有向量组A：，问α，β为何值时： (1)向量b不能由向量组A线性表示． (2)向量b能由向量组A线性表示，且表示式唯一． (3)向量b能由向量组A线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式．

admin2021-02-25  15
问题 设有向量组A：，问α，β为何值时：
(1)向量b不能由向量组A线性表示．
(2)向量b能由向量组A线性表示，且表示式唯一．
(3)向量b能由向量组A线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式．
选项
答案设x1a1+x2a2+x3a3=b，并令A=(a3，a2，a1)，x=(x3，x2，x1)T． 则方程组可写为Ax=b，对增广矩阵施以初等行变换，有 [*] 当α=一4且β≠0时，R(A)=2≠3=R(B)，方程组Ax=b无解，从而可得向量b不能由向量组A线性表示． 当α≠一4时，R(A)=R(B)=3，方程组Ax=b有唯一解，从而可得向量b能由向量组A线性表示，且表示式唯一． 当α=一4且β=0时，R(A)=R(B)=2，方程组Ax=b有无数个解． 从而向量b能由向量组A线性表示，且表示式不唯一，此时， [*]，所以方程组的通解为 [*]，k∈R．即b=ka1一(2k+1)a2+a3，k∈R．
解析
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考研数学二

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